Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$f(x) = \frac{x^2 - 8x}{x+1}$$ на промежутке [-5; -2].

Решение:

Найдем производную функции \( f(x) = \frac{x^2 - 8x}{x+1} \) с помощью правила дифференцирования частного \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

1. Найдем производную: \[ f'(x) = \frac{(2x - 8)(x+1) - (x^2 - 8x)(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - 8x - 8 - x^2 + 8x}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 8}{(x+1)^2} \]
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \[ \frac{x^2 + 2x - 8}{(x+1)^2} = 0 \] \( x^2 + 2x - 8 = 0 \)
3. Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \).
4. Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 - 6}{2} = -4 \]
5. Критическая точка \( x = 2 \) не входит в заданный промежуток \( [-5; -2] \). Критическая точка \( x = -4 \) входит в промежуток.
6. Также рассмотрим границы промежутка: \( x = -5 \) и \( x = -2 \). Обратите внимание, что \( x = -1 \) не входит в область определения функции, но оно находится вне заданного промежутка.
7. Вычислим значения функции в критической точке \( x = -4 \) и на границах промежутка \( x = -5, x = -2 \):
   • \( f(-4) = \frac{(-4)^2 - 8(-4)}{-4+1} = \frac{16 + 32}{-3} = \frac{48}{-3} = -16 \).
   • \( f(-5) = \frac{(-5)^2 - 8(-5)}{-5+1} = \frac{25 + 40}{-4} = \frac{65}{-4} = -16.25 \).
   • \( f(-2) = \frac{(-2)^2 - 8(-2)}{-2+1} = \frac{4 + 16}{-1} = \frac{20}{-1} = -20 \).
8. Сравним полученные значения: -16.25, -16, -20.

Ответ: Наибольшее значение функции равно -16 (при \( x = -4 \)). Наименьшее значение функции равно -20 (при \( x = -2 \)).