1. Исследуйте функцию $y=\frac{3-x^2}{x+2}$ на монотонность и экстремумы.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. Исследуйте функцию $y=\frac{3-x^2}{x+2}$ на монотонность и экстремумы.$ Фото задания

1. Исследуйте функцию $y=\frac{3-x^2}{x+2}$ на монотонность и экстремумы.

Accepted Answer

Область определения: $x\ne-2$.

Найдём производную:

$y'=\frac{-2x(x+2)-(3-x^2)}{(x+2)^2}=-\frac{(x+1)(x+3)}{(x+2)^2}$.

Критические точки: $x=-3$ и $x=-1$; также учитываем разрыв при $x=-2$. Поскольку знаменатель производной положителен, её знак определяется числителем.

Убывает на $(-\infty,-3)$ и $(-1,+\infty)$.
Возрастает на $(-3,-2)$ и $(-2,-1)$.

$y(-3)=6$, поэтому в точке $x=-3$ — минимум. $y(-1)=2$, поэтому в точке $x=-1$ — максимум.

Ответ: убывает на $(-\infty,-3)$, $(-1,+\infty)$; возрастает на $(-3,-2)$, $(-2,-1)$. Минимум $6$ при $x=-3$, максимум $2$ при $x=-1$.

1. Исследуйте функцию \(y=\frac{3-x^2}{x+2}\) на монотонность и экстремумы.

Ответ: