6. При каких значениях параметра \(a\) функция \(y=\frac53ax^3-30x^2+5(a+9)x-7\) возрастает на всей числовой прямой?

Для возрастания кубической функции на всей числовой прямой необходимо и достаточно, чтобы её производная была неотрицательна при всех \(x\).

\(y'=5ax^2-60x+5(a+9)\). Если квадратный трёхчлен неотрицателен при всех действительных \(x\), то его старший коэффициент положителен и дискриминант не больше нуля.

Получаем \(a>0\) и \(D=(-60)^2-4\cdot5a\cdot5(a+9)=100(36-a^2-9a)\le0\). Значит, \(a^2+9a-36\ge0\), то есть \((a+12)(a-3)\ge0\). Вместе с \(a>0\) это даёт \(a\ge3\).

При \(a=3\) производная равна \(15(x-2)^2\ge0\), и функция всё равно возрастает.

Ответ: \(a\ge3\).