5. Докажите, что при $x\in(0;\frac\pi2)$ справедливо неравенство $\sin x>x\cos x$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Докажите, что при $x\in(0;\frac\pi2)$ справедливо неравенство $\sin x>x\cos x$.$ Фото задания

Accepted Answer

Рассмотрим разность $f(x)=\sin x-x\cos x$. При $x=0$ она равна нулю.

$f'(x)=\cos x-(\cos x-x\sin x)=x\sin x$. На интервале $(0,\frac\pi2)$ производная положительна, поэтому $f(x)>f(0)=0$.

Следовательно, $\sin x-x\cos x>0$, то есть $\sin x>x\cos x$.

5. Докажите, что при \(x\in(0;\frac\pi2)\) справедливо неравенство \(\sin x>x\cos x\).