4. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 см и углом 60° вписан прямоугольник так, что одна из его сторон лежит на гипотенузе. Чему равна наибольшая площадь такого прямоугольника?

Катеты треугольника равны \(4\) см и \(4\sqrt3\) см, поэтому высота к гипотенузе равна \(h=\frac{4\cdot4\sqrt3}{8}=2\sqrt3\) см.

Пусть высота прямоугольника равна \(t\). По подобию треугольников его сторона, лежащая на гипотенузе, равна \(8(1-\frac{t}{h})\). Тогда площадь \(S(t)=8t(1-\frac{t}{h})\). Эта квадратичная функция достигает максимума при \(t=\frac h2\).

\(S_{\max}=8\cdot\frac h2\cdot\frac12=2h=4\sqrt3\text{ см}^2\).

Ответ: \(4\sqrt3\text{ см}^2\).