1. Исследуйте функцию y = 2x√1 - x на монотонность и экстремумы.

1. Исследование функции

1. Область определения: функция определена при 1 - x ≥ 0, то есть x ≤ 1.
2. Производная:
• Найдем производную функции:
• \[ y' = (2x\sqrt{1-x})' \]
• \[ y' = 2\sqrt{1-x} + 2x \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (-1) \]
• \[ y' = 2\sqrt{1-x} - \frac{x}{\sqrt{1-x}} \]
• Приведем к общему знаменателю:
• \[ y' = \frac{2(1-x) - x}{\sqrt{1-x}} = \frac{2 - 2x - x}{\sqrt{1-x}} = \frac{2 - 3x}{\sqrt{1-x}} \]
3. Монотонность:
• Найдем точки, где y' = 0:
• \[ 2 - 3x = 0 \implies x = \frac{2}{3} \]
• Определим знаки производной на интервалах:
• При x < 2/3 (например, x = 0): y' = (2 - 0) / √1 = 2 > 0. Функция возрастает.
• При 2/3 < x < 1 (например, x = 0.8): y' = (2 - 3*0.8) / √0.2 = (2 - 2.4) / √0.2 = -0.4 / √0.2 < 0. Функция убывает.
4. Экстремумы:
• В точке x = 2/3 производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума.
• Найдем значение функции в точке максимума:
• \[ y(\frac{2}{3}) = 2 \cdot \frac{2}{3} \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \frac{4}{3} \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{4}{3\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{9} \]
• На границе области определения x = 1, значение функции y(1) = 2 * 1 * √0 = 0.
• На минус бесконечности функция стремится к минус бесконечности.

Ответ: Функция возрастает на (-∞; 2/3], убывает на [2/3; 1]. Максимум функции в точке x = 2/3, y_max = 4√3 / 9.