3. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y = 1/2x - sin x на отрезке [-π/2, π/2].

3. Наименьшее и наибольшее значения функции

1. Область определения: Отрезок [-π/2, π/2].
2. Производная:
• \[ y' = (\frac{1}{2}x - \sin x)' = \frac{1}{2} - \cos x \]
3. Критические точки:
• Приравняем производную к нулю:
• \[ \frac{1}{2} - \cos x = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2} \]
• На отрезке [-π/2, π/2], решение этого уравнения: x = π/3.
4. Значения функции на концах отрезка и в критической точке:
• x = -π/2:
• \[ y(-\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}(-\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{4} - (-1) = 1 - \frac{\pi}{4} \approx 1 - 0.785 = 0.215 \]
• x = π/2:
• \[ y(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{4} - 1 \approx 0.785 - 1 = -0.215 \]
• x = π/3:
• \[ y(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}(\frac{\pi}{3}) - \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.524 - 0.866 = -0.342 \]

Сравнение значений:

• Наибольшее значение: 1 - π/4 ≈ 0.215 (достигается при x = -π/2).
• Наименьшее значение: π/6 - √3/2 ≈ -0.342 (достигается при x = π/3).

Ответ: Наибольшее значение функции равно 1 - π/4, наименьшее значение равно π/6 - √3/2.