6. При каких значениях параметра а наименьшее на отрезке [0; 2] значение функции y = x² + (a + 4)x + 2a + 3 равно -4?

6. Нахождение параметра 'a'

Дана функция y = x² + (a + 4)x + 2a + 3. Нам нужно найти значения параметра a, при которых наименьшее значение функции на отрезке [0; 2] равно -4.

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при x² равен 1).

Наименьшее значение функции на отрезке может достигаться либо в вершине параболы (если вершина попадает на отрезок), либо на одном из концов отрезка.

1. Вершина параболы:

• Абсцисса вершины находится по формуле x_верш = -b / 2a, где a и b — коэффициенты квадратного трехчлена. В нашем случае, a=1, b = a + 4.
• \[ x_{верш} = -\frac{a+4}{2 \cdot 1} = -\frac{a+4}{2} \]

Рассмотрим три случая:

Случай 1: Вершина параболы находится на отрезке [0; 2].

• Это означает, что 0 ≤ x_верш ≤ 2.
• \[ 0 \le -\frac{a+4}{2} \le 2 \]
• \[ 0 \le -(a+4) \le 4 \]
• \[ 0 \ge a+4 \ge -4 \]
• \[ -4 \ge a \ge -8 \]
• То есть, при -8 ≤ a ≤ -4, наименьшее значение достигается в вершине.
• Значение функции в вершине:
• \[ y_{верш} = y(-\frac{a+4}{2}) = (-\frac{a+4}{2})^2 + (a+4)(-\frac{a+4}{2}) + 2a+3 \]
• \[ y_{верш} = \frac{(a+4)^2}{4} - \frac{(a+4)^2}{2} + 2a+3 \]
• \[ y_{верш} = -\frac{(a+4)^2}{4} + 2a+3 \]
• Приравняем это значение к -4:
• \[ -\frac{(a+4)^2}{4} + 2a+3 = -4 \]
• \[ -\frac{a^2+8a+16}{4} + 2a+7 = 0 \]
• Умножим на 4:
• \[ -(a^2+8a+16) + 8a+28 = 0 \]
• \[ -a^2 - 8a - 16 + 8a + 28 = 0 \]
• \[ -a^2 + 12 = 0 \]
• \[ a^2 = 12 \]
• \[ a = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3} \]
• Проверим, попадают ли эти значения в диапазон [-8, -4]:
• 2√3 ≈ 2 * 1.732 = 3.464. Это значение больше -4, поэтому не подходит.
• -2√3 ≈ -3.464. Это значение находится в диапазоне [-8, -4].
• Таким образом, a = -2√3 — одно из возможных решений.

Случай 2: Вершина параболы левее отрезка [0; 2].

• Это означает, что x_верш < 0.
• \[ -\frac{a+4}{2} < 0 \implies -(a+4) < 0 \implies a+4 > 0 \implies a > -4 \]
• В этом случае наименьшее значение функции на отрезке достигается на левом конце, то есть при x = 0.
• \[ y(0) = 0² + (a+4) \cdot 0 + 2a+3 = 2a+3 \]
• Приравняем это значение к -4:
• \[ 2a+3 = -4 \]
• \[ 2a = -7 \]
• \[ a = -3.5 \]
• Проверим, попадает ли это значение в условие a > -4. Да, -3.5 > -4.
• Таким образом, a = -3.5 — еще одно возможное решение.

Случай 3: Вершина параболы правее отрезка [0; 2].

• Это означает, что x_верш > 2.
• \[ -\frac{a+4}{2} > 2 \implies -(a+4) > 4 \implies a+4 < -4 \implies a < -8 \]
• В этом случае наименьшее значение функции на отрезке достигается на правом конце, то есть при x = 2.
• \[ y(2) = 2² + (a+4) \cdot 2 + 2a+3 \]
• \[ y(2) = 4 + 2a + 8 + 2a + 3 \]
• \[ y(2) = 4a + 15 \]
• Приравняем это значение к -4:
• \[ 4a + 15 = -4 \]
• \[ 4a = -19 \]
• \[ a = -19/4 = -4.75 \]
• Проверим, попадает ли это значение в условие a < -8. Нет, -4.75 не меньше -8. Следовательно, решений в этом случае нет.

Итоговые значения параметра 'a':

Мы нашли два значения параметра a, при которых наименьшее значение функции на отрезке [0; 2] равно -4:

• a = -2√3 (из Случая 1)
• a = -3.5 (из Случая 2)

Ответ: Значения параметра a равны -2√3 и -3.5.