4. В треугольник с основанием а и высотой h вписан прямо-угольник так, что одна его сторона принадлежит основанию треугольника. Чему равна наибольшая площадь такого прямо-угольника?

4. Наибольшая площадь вписанного прямоугольника

Рассмотрим треугольник ABC, где BC — основание длиной a, а h — высота, опущенная из вершины A на основание BC. Пусть O — точка пересечения высоты с основанием.

В этот треугольник вписан прямоугольник DEFG, где сторона DE лежит на основании BC, а вершины F и G лежат на сторонах AC и AB соответственно.

Пусть сторона прямоугольника, лежащая на основании треугольника, равна x, а высота прямоугольника равна y. Площадь прямоугольника S = x ⋅ y.

Из подобия треугольников:

Рассмотрим треугольник, образованный вершиной A и верхней стороной прямоугольника FG. Этот треугольник подобен исходному треугольнику ABC.

• Высота этого меньшего треугольника равна (h - y).
• Основание этого меньшего треугольника равно x.

По свойству подобных треугольников:

• \[ \frac{\text{основание меньшего треугольника}}{\text{основание большего треугольника}} = \frac{\text{высота меньшего треугольника}}{\text{высота большего треугольника}} \]
• \[ \frac{x}{a} = \frac{h - y}{h} \]

Выразим y через x:

• \[ xh = a(h - y) \]
• \[ xh = ah - ay \]
• \[ ay = ah - xh \]
• \[ y = \frac{ah - xh}{a} = h - \frac{h}{a}x \]

Теперь подставим это выражение для y в формулу площади:

• \[ S(x) = x \cdot (h - \frac{h}{a}x) = hx - \frac{h}{a}x^2 \]

Чтобы найти наибольшую площадь, найдем максимум этой функции. Для этого возьмем производную по x и приравняем ее к нулю:

• \[ S'(x) = (hx - \frac{h}{a}x^2)' = h - \frac{2h}{a}x \]

Приравняем производную к нулю:

• \[ h - \frac{2h}{a}x = 0 \]
• \[ h = \frac{2h}{a}x \]
• \[ x = \frac{ha}{2h} = \frac{a}{2} \]

Итак, ширина прямоугольника, дающая максимальную площадь, равна половине основания треугольника.

Найдем соответствующую высоту y:

• \[ y = h - \frac{h}{a} \cdot \frac{a}{2} = h - \frac{h}{2} = \frac{h}{2} \]

Высота прямоугольника равна половине высоты треугольника.

Теперь найдем максимальную площадь:

• \[ S_{max} = x \cdot y = \frac{a}{2} \cdot \frac{h}{2} = \frac{ah}{4} \]

Максимальная площадь вписанного прямоугольника равна половине произведения основания на высоту треугольника, деленному на 2, то есть ¼ произведения основания на высоту треугольника.

Ответ: Наибольшая площадь такого прямоугольника равна ah/4.