2. Постройте график функции y = x³/3 + x² + 3x.

2. Построение графика функции y = x³/3 + x² + 3x

Для построения графика исследуем функцию:

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел x ∈ (-∞; +∞).
2. Производная:
• \[ y' = (\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x)' = x^2 + 2x + 3 \]
3. Экстремумы:
• Найдем точки, где y' = 0:
• \[ x^2 + 2x + 3 = 0 \]
• Дискриминант D = b² - 4ac = 2² - 4 * 1 * 3 = 4 - 12 = -8.
• Так как дискриминант отрицательный, действительных корней нет. Значит, экстремумов у функции нет.
• Так как старший коэффициент (1) при x² в производной положительный, то y' > 0 для всех x.
4. Монотонность:
• Так как y' > 0 на всей области определения, функция является возрастающей.
5. Точки перегиба:
• Найдем вторую производную:
• \[ y'' = (x^2 + 2x + 3)' = 2x + 2 \]
• Приравняем вторую производную к нулю:
• \[ 2x + 2 = 0 \implies x = -1 \]
• Определим знаки второй производной:
• При x < -1, y'' < 0 (функция вогнутая, график смотрит вниз).
• При x > -1, y'' > 0 (функция выпуклая, график смотрит вверх).
• Следовательно, в точке x = -1 находится точка перегиба.
6. Координаты точки перегиба:
• \[ y(-1) = \frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3(-1) = -\frac{1}{3} + 1 - 3 = -2 - \frac{1}{3} = -2\frac{1}{3} \]
• Точка перегиба: (-1; -2⅓).
7. Построение графика:
• График будет плавной, возрастающей кривой, проходящей через точку перегиба (-1; -2⅓).
• Найдем несколько точек для построения:
• x = 0: y = 0 (точка (0, 0))
• x = 1: y = 1/3 + 1 + 3 = 4⅓ (точка (1, 4⅓))
• x = -2: y = (-8)/3 + 4 - 6 = -8/3 - 2 = -14/3 = -4⅔ (точка (-2, -4⅔))

График функции:

Ответ: График является возрастающей кривой без экстремумов, с точкой перегиба в (-1; -2⅓).