5. Докажите, что при х > 3 справедливо неравенство 4x(x² + 6) > 15(x² + 3).

5. Доказательство неравенства

Чтобы доказать неравенство 4x(x² + 6) > 15(x² + 3) при x > 3, преобразуем его, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

1. Раскроем скобки:
• Левая часть: 4x³ + 24x
• Правая часть: 15x² + 45
2. Перенесем все члены в одну сторону:
• \[ 4x³ + 24x - (15x² + 45) > 0 \]
• \[ 4x³ - 15x² + 24x - 45 > 0 \]
3. Сгруппируем слагаемые:
• \[ (4x³ - 15x²) + (24x - 45) > 0 \]
• Вынесем общие множители из каждой группы:
• \[ x²(4x - 15) + 3(8x - 15) > 0 \]
• Заметим, что группировка не привела к очевидному результату. Попробуем другую группировку:
• \[ (4x³ + 24x) - (15x² + 45) > 0 \]
• \[ 4x(x² + 6) - 15(x² + 3) > 0 \]
• Эта группировка возвращает нас к исходному виду. Попробуем сгруппировать по-другому:
• \[ (4x³ - 45) + (24x - 15x²) > 0 \]
• Это также не дает очевидного упрощения.
4. Проверим значение при x = 3:
• Левая часть: 4 * 3 * (3² + 6) = 12 * (9 + 6) = 12 * 15 = 180
• Правая часть: 15 * (3² + 3) = 15 * (9 + 3) = 15 * 12 = 180
• При x = 3 неравенство выполняется как равенство: 180 = 180.
5. Рассмотрим функцию f(x) = 4x³ - 15x² + 24x - 45
• Мы знаем, что f(3) = 0. Найдем производную этой функции:
• \[ f'(x) = 12x² - 30x + 24 \]
• Найдем корни квадратного уравнения 12x² - 30x + 24 = 0, разделив на 6:
• \[ 2x² - 5x + 4 = 0 \]
• Дискриминант D = (-5)² - 4 * 2 * 4 = 25 - 32 = -7.
• Так как дискриминант отрицательный, а старший коэффициент (12) положительный, то f'(x) > 0 для всех x.
• Это означает, что функция f(x) является строго возрастающей.
• Поскольку f(3) = 0 и функция f(x) возрастает, то для всех x > 3 значение f(x) будет больше 0.

Таким образом, при x > 3 справедливо неравенство 4x³ - 15x² + 24x - 45 > 0, что эквивалентно исходному неравенству.

Ответ: Неравенство доказано.