1. На доске 100 × 100 расставлено 100 ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что в правом верхнем и в левом нижнем квадратах размером 50 × 50 расставлено равное число ладей.

Разобьём доску на четыре квадрата 50 × 50. Пусть в правом верхнем квадрате стоит \(x\) ладей.

Каждая из 50 верхних горизонталей содержит ровно одну ладью: ладей не больше 100, и ни в одной горизонтали не может быть двух. Поэтому в левом верхнем квадрате стоит \(50-x\) ладей.

Всего в левом верхнем и левом нижнем квадратах вместе стоит 50 ладей: на каждой из 50 левых вертикалей есть ровно одна ладья. Значит, в левом нижнем квадрате стоит \(50-(50-x)=x\) ладей.

Ответ: в правом верхнем и левом нижнем квадратах число ладей одинаково.