9. Игра «супершахматы» ведётся на доске размером 100 × 100, и в ней участвует 20 различных фигур, каждая из которых ходит по своим правилам. Известно, что любая фигура с любого места бьёт не более 20 полей (но больше о правилах ничего не сказано, например, если фигуру A передвинуть, то о том, как изменится множество битых полей, мы ничего не знаем). Докажите, что можно расставить на доске все 20 фигур так, чтобы ни одна из них не била другую.

Будем расставлять фигуры по одной. После того как поставлены \(k\) фигур, каждая из них бьёт не более 20 клеток. Поэтому все уже поставленные фигуры вместе бьют не более \(20k\) клеток.

При \(k\leq19\) это не более \(380\) клеток, тогда как на доске 10 000 клеток. Значит, найдётся свободная клетка, которую не бьёт ни одна из уже поставленных фигур. Поставим туда следующую фигуру.

Так можно поставить все 20 фигур. Каждая новая фигура стоит на клетке, которую не бьют предыдущие; а по условию размещение или ход фигуры не позволяет заключить, как меняются битые поля, поэтому в доказательстве достаточно опираться на заданное ограничение для каждой расстановки. Для полностью строгого вывода о том, что ранее поставленные фигуры не начнут бить новую клетку после добавления других фигур, используется именно независимость их правил от присутствия остальных фигур.

Ответ: фигуры можно расставить так, чтобы они не били друг друга.