7. На клетчатую доску 11 × 11 положили несколько квадратов 2 × 2 так, что каждый квадрат закрывает четыре клетки и каждые два квадрата пересекаются не более чем по одной клетке. Какое наибольшее число квадратов могли положить?

Отметим для каждого квадрата клетку в его верхнем левом углу. Возможные углы образуют сетку 10 × 10. В одной строке углов нельзя брать соседние: соответствующие квадраты пересекутся по двум клеткам. Поэтому в каждой из 10 строк можно выбрать не более 5 углов, всего не более 50.

Эта граница достигается: выберем углы в клетках сетки 10 × 10, где сумма номера строки и номера столбца чётна. В каждой строке их 5. Два выбранных угла не соседствуют по горизонтали или вертикали; если их квадраты пересекаются, то только по одной клетке.

Ответ: 50 квадратов.