5. На некоторых клетках доски 10 × 10 стоят шашки. Клетка называется красной, если на горизонтали, проходящей через эту клетку, стоит нечётное число шашек, и на вертикали, проходящей через ту же клетку, тоже стоит нечётное число шашек. Может ли на доске оказаться ровно 2 красные клетки?

Пусть \(a\) — число горизонталей с нечётным количеством шашек, а \(b\) — число вертикалей с нечётным количеством шашек. Число шашек нечётно в сумме по горизонталям ровно тогда, когда оно нечётно в сумме по вертикалям. Поэтому \(a\) и \(b\) имеют одинаковую чётность.

Красными будут клетки на пересечениях этих горизонталей и вертикалей, значит, красных клеток ровно \(ab\). Если их ровно 2, то \(ab=2\), а значит, числа \(a\) и \(b\) имеют разную чётность: это невозможно.

Ответ: нет, ровно двух красных клеток быть не может.