1. На координатной плоскости проведите прямую MN через точки M (-4; 2) и N (5; 4) и отрезок KD, соединяющий точки K (-9; 4) и D (-6; -8). Найдите координаты точки пересечения отрезка KD и прямой MN.

Решение:

1. Уравнение прямой MN:

Найдем угловой коэффициент: \( k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - 2}{5 - (-4)} = \frac{2}{9} \).

Уравнение прямой: \( y - y_1 = k(x - x_1) \)

\( y - 2 = \frac{2}{9}(x - (-4)) \)

\( y - 2 = \frac{2}{9}(x + 4) \)

\( 9(y - 2) = 2(x + 4) \)

\( 9y - 18 = 2x + 8 \)

\( 2x - 9y + 26 = 0 \).

2. Уравнение прямой KD:

Найдем угловой коэффициент: \( k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-8 - 4}{-6 - (-9)} = \frac{-12}{3} = -4 \).

Уравнение прямой: \( y - y_1 = k(x - x_1) \)

\( y - 4 = -4(x - (-9)) \)

\( y - 4 = -4(x + 9) \)

\( y - 4 = -4x - 36 \)

\( 4x + y + 32 = 0 \).

3. Найдем точку пересечения прямых:

Решим систему уравнений:

\( \begin{cases} 2x - 9y + 26 = 0 \\ 4x + y + 32 = 0 \end{cases} \)

Из второго уравнения выразим \( y \): \( y = -4x - 32 \).

Подставим в первое уравнение:

\( 2x - 9(-4x - 32) + 26 = 0 \)

\( 2x + 36x + 288 + 26 = 0 \)

\( 38x + 314 = 0 \)

\( 38x = -314 \)

\( x = -\frac{314}{38} = -\frac{157}{19} \).

Найдем \( y \): \( y = -4(-\frac{157}{19}) - 32 = \frac{628}{19} - \frac{32 \cdot 19}{19} = \frac{628 - 608}{19} = \frac{20}{19} \).

Ответ: Координаты точки пересечения \( (-\frac{157}{19}; \frac{20}{19}) \).