1) Нарисуйте параллелепипед АВСДА₁В₁С₁Д₁, обозначьте векторы СД и ВС соответственно через векторы а и b. а) Изобразите на рисунке векторы a+b, a-b, 2a, 1/3 b б) Изобразите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов AB + AD + AA₁ в) Разложите вектор BD₁ по векторам BA, BC, BB₁

Решение:

а) Изображение векторов:

Предположим, что вектор \( \vec{a} \) направлен вдоль ребра AD, а вектор \( \vec{b} \) — вдоль ребра AB.

• \( \vec{a} + \vec{b} \): Этот вектор будет равен диагонали параллелограмма, построенного на векторах \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) (например, \( \vec{AC} \)).
• \( \vec{a} - \vec{b} \): Этот вектор будет равен вектору \( \vec{BA} \) (или \( \vec{DC} \)).
• \( 2\vec{a} \): Этот вектор будет иметь то же направление, что и \( \vec{a} \), но длину в два раза больше.
• \( \frac{1}{3}\vec{b} \): Этот вектор будет иметь то же направление, что и \( \vec{b} \), но длину в три раза меньше.

б) Изображение вектора, равного сумме векторов:

Сумма векторов \( \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} \) равна вектору \( \vec{AC_1} \) (главной диагонали параллелепипеда).

в) Разложение вектора BD₁:

Вектор \( \vec{BD_1} \) можно представить как разность векторов \( \vec{AD_1} - \vec{AB} \).

Из условия задачи, \( \vec{BA} = -\vec{a} \), \( \vec{BC} = \vec{b} \), \( \vec{BB_1} = \vec{c} \) (предполагаем, что \( \vec{c} \) — вектор, соответствующий высоте параллелепипеда).

В параллелепипеде \( ABCD A_1B_1C_1D_1 \):

\( \vec{BD_1} = \vec{BA} + \vec{AD} + \vec{DD_1} \)

В данном случае, нам нужно разложить \( \vec{BD_1} \) по векторам \( \vec{BA} \), \( \vec{BC} \), \( \vec{BB_1} \).

Заметим, что \( \vec{AD} = \vec{BC} = \vec{b} \) и \( \vec{DD_1} = \vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{c} \).

Поэтому, \( \vec{BD_1} = \vec{BA} + \vec{BC} + \vec{BB_1} \).

Ответ: \( \vec{BD_1} = \vec{BA} + \vec{BC} + \vec{BB_1} \).