3) Даны точки A(1; 3; 2), B(0; 2; 4), C(1; 1; 4) и Д(2; 2; 2). Докажите, что АВСД – параллелограмм.

Решение:

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны, то есть векторы, соответствующие противоположным сторонам, равны.

1. Найдем вектор \( \vec{AB} \): \( \vec{AB} = \{0-1; 2-3; 4-2\} = \{-1; -1; 2\} \).
2. Найдем вектор \( \vec{DC} \): \( \vec{DC} = \{1-2; 1-2; 4-2\} = \{-1; -1; 2\} \).

Поскольку \( \vec{AB} = \vec{DC} \), то сторона AB параллельна и равна стороне DC.

3. Найдем вектор \( \vec{BC} \): \( \vec{BC} = \{1-0; 1-2; 4-4\} = \{1; -1; 0\} \).
4. Найдем вектор \( \vec{AD} \): \( \vec{AD} = \{2-1; 2-3; 2-2\} = \{1; -1; 0\} \).

Поскольку \( \vec{BC} = \vec{AD} \), то сторона BC параллельна и равна стороне AD.

Так как противоположные стороны четырехугольника ABCD попарно параллельны и равны, то ABCD является параллелограммом.

Ответ: Доказано, что ABCD — параллелограмм.