6) Найти координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением (x-2)²+(y+3)² + (z+5)² = 49.

Решение:

Уравнение сферы в общем виде записывается как:

\( (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2 \),

где \( (x_0, y_0, z_0) \) — координаты центра сферы, а \( R \) — её радиус.

Сравнивая данное уравнение \( (x-2)^2+(y+3)^2 + (z+5)^2 = 49 \) с общим видом, получаем:

• \( x_0 = 2 \) (так как \( x-2 \) соответствует \( x-x_0 \)).
• \( y_0 = -3 \) (так как \( y+3 \) соответствует \( y-y_0 \), то есть \( y-(-3) \)).
• \( z_0 = -5 \) (так как \( z+5 \) соответствует \( z-z_0 \), то есть \( z-(-5) \)).
• \( R^2 = 49 \), следовательно, \( R = \sqrt{49} = 7 \).

Таким образом, центр сферы находится в точке \( (2; -3; -5) \), а её радиус равен 7.

Ответ: Координаты центра сферы: \( (2; -3; -5) \). Радиус сферы: \( R = 7 \).