1. Найдите хорду, на которую опирается угол 120°, вписанный в окружность радиуса √3.

Решение:

Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол 120°, равен удвоенному вписанному углу: \( \alpha = 2 \cdot 120^{\circ} = 240^{\circ} \). Но мы ищем хорду, которая опирается на дугу, соответствующую вписанному углу 120°. Эта дуга равна \( 2 × (180^{\circ} - 120^{\circ}) = 120^{\circ} \) или \( 2 × 120^{\circ} = 240^{\circ} \) . Вписанный угол 120° опирается на большую дугу. Угол, опирающийся на меньшую дугу, равен \( 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \). Центральный угол, опирающийся на ту же меньшую дугу, равен \( 2 × 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

Хорда \( c \) в круге радиуса \( R \) находится по формуле: \( c = 2R \sin(\frac{\alpha}{2}) \), где \( \alpha \) — центральный угол. В нашем случае \( R = \sqrt{3} \) и \( \alpha = 120^{\circ} \).

Вычисляем длину хорды:

\[ c = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sin(\frac{120^{\circ}}{2}) = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sin(60^{\circ}) = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \]

Ответ: 3