7. Найдите корень уравнения $\sqrt{34 – 3х} = x - 2$.

Question

$Фото задания: 7. Найдите корень уравнения $\sqrt{34 – 3х} = x - 2$.$ Фото задания

Accepted Answer

Возведём обе части уравнения в квадрат:
$ (\sqrt{34 - 3x})^2 = (x - 2)^2 $
\[ 34 - 3x = x^2 - 4x + 4 \]
Приведём уравнение к стандартному квадратному виду:
$ x^2 - 4x + 4 - 34 + 3x = 0 $
\[ x^2 - x - 30 = 0 \]
Решим квадратное уравнение:
Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121 $.
$ \sqrt{D} = \sqrt{121} = 11 $.
Корни уравнения:
\[ x_1 = \frac{-(-1) + 11}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 11}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]\[ x_2 = \frac{-(-1) - 11}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 11}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]
Проверим корни:
Для корня $ x = 6 $:
\[ \sqrt{34 - 3 \cdot 6} = 6 - 2 \]\[ \sqrt{34 - 18} = 4 \]\[ \sqrt{16} = 4 \]\[ 4 = 4 \] (Корень подходит)
Для корня $ x = -5 $:
\[ \sqrt{34 - 3 \cdot (-5)} = -5 - 2 \]\[ \sqrt{34 + 15} = -7 \]\[ \sqrt{49} = -7 \]\[ 7 = -7 \] (Корень не подходит, так как $ \sqrt{49} $ — это положительное число, а $ x-2 $ должно быть неотрицательным, $ x-2 ≥ 0 $, то есть $ x ≥ 2 $).

Ответ: 6

7. Найдите корень уравнения \(\sqrt{34 – 3х} = x - 2\).