10. Найдите корень уравнения: cos(π(2x+9)/3) = 1/2. В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Решение:

1. Обозначим аргумент косинуса:

   Пусть \( y = \frac{\pi(2x+9)}{3} \).

   Уравнение примет вид: \( \cos(y) = \frac{1}{2} \).

2. Найдем значения y:

   Основные значения \( y \), для которых \( \cos(y) = \frac{1}{2} \) , это \( y = \frac{\pi}{3} \) и \( y = -\frac{\pi}{3} \).

   Общее решение уравнения \( \cos(y) = \frac{1}{2} \) имеет вид:

   \[ y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \], где \( k \) — целое число.

3. Подставим обратно выражение для y и решим относительно x:

   Случай 1: \( y = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \)

   \[ \frac{\pi(2x+9)}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \]\[ \frac{2x+9}{3} = \frac{1}{3} + 2k \]\[ 2x+9 = 1 + 6k \]\[ 2x = 1 + 6k - 9 \]\[ 2x = 6k - 8 \]\[ x = 3k - 4 \]

   Случай 2: \( y = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \)

   \[ \frac{\pi(2x+9)}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \]\[ \frac{2x+9}{3} = -\frac{1}{3} + 2k \]\[ 2x+9 = -1 + 6k \]\[ 2x = -1 + 6k - 9 \]\[ 2x = 6k - 10 \]\[ x = 3k - 5 \]
4. Найдем наибольший отрицательный корень:

   Для \( x = 3k - 4 \):

   Если \( k=0 \), \( x = -4 \).

   Если \( k=1 \), \( x = 3 - 4 = -1 \).

   Если \( k=-1 \), \( x = -3 - 4 = -7 \).

   Для \( x = 3k - 5 \):

   Если \( k=0 \), \( x = -5 \).

   Если \( k=1 \), \( x = 3 - 5 = -2 \).

   Если \( k=-1 \), \( x = -3 - 5 = -8 \).

   Отрицательные корни: -4, -1, -7, -5, -2, -8. Наибольший из них — -1.

Ответ: -1