1. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 232 и 261; б) 124 и 148; в) 24; 48 и 54.

Решение:

Наибольший общий делитель (НОД) — это самое большое число, на которое делятся все числа без остатка.

1. а) 232 и 261
   1. Разложим числа на простые множители:
   2. \( 232 = 2 \cdot 116 = 2 \cdot 2 \cdot 58 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 29 = 2^3 \cdot 29 \)
   3. \( 261 = 3 \cdot 87 = 3 \cdot 3 \cdot 29 = 3^2 \cdot 29 \)
   4. Общий множитель: \( 29 \).
   5. \( \text{НОД}(232, 261) = 29 \)
2. б) 124 и 148
   1. Разложим числа на простые множители:
   2. \( 124 = 2 \cdot 62 = 2 \cdot 2 \cdot 31 = 2^2 \cdot 31 \)
   3. \( 148 = 2 \cdot 74 = 2 \cdot 2 \cdot 37 = 2^2 \cdot 37 \)
   4. Общий множитель: \( 2^2 \).
   5. \( \text{НОД}(124, 148) = 2^2 = 4 \)
3. в) 24, 48 и 54
   1. Разложим числа на простые множители:
   2. \( 24 = 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3 \)
   3. \( 48 = 2 \cdot 24 = 2 \cdot 2^3 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3 \)
   4. \( 54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3 \cdot 9 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^3 \)
   5. Общие множители: \( 2 \cdot 3 \).
   6. \( \text{НОД}(24, 48, 54) = 2 \cdot 3 = 6 \)

Ответ: а) 29; б) 4; в) 6.