1. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 425 и 625; б) 532 и 665; в) 36, 72 и 198.

Решение:

Наибольший общий делитель (НОД) — это самое большое число, на которое делятся все числа без остатка.

1. а) 425 и 625
   1. Разложим числа на простые множители:
   2. \( 425 = 5 \cdot 85 = 5 \cdot 5 \cdot 17 = 5^2 \cdot 17 \)
   3. \( 625 = 5 \cdot 125 = 5 \cdot 5 \cdot 25 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4 \)
   4. Общие множители: \( 5^2 \)
   5. \( \text{НОД}(425, 625) = 5^2 = 25 \)
2. б) 532 и 665
   1. Разложим числа на простые множители:
   2. \( 532 = 2 \cdot 266 = 2 \cdot 2 \cdot 133 = 2^2 \cdot 7 \cdot 19 \)
   3. \( 665 = 5 \cdot 133 = 5 \cdot 7 \cdot 19 \)
   4. Общие множители: \( 7 \cdot 19 \)
   5. \( \text{НОД}(532, 665) = 7 \cdot 19 = 133 \)
3. в) 36, 72 и 198
   1. Разложим числа на простые множители:
   2. \( 36 = 2 \cdot 18 = 2 \cdot 2 \cdot 9 = 2^2 \cdot 3^2 \)
   3. \( 72 = 2 \cdot 36 = 2 \cdot 2^2 \cdot 3^2 = 2^3 \cdot 3^2 \)
   4. \( 198 = 2 \cdot 99 = 2 \cdot 9 \cdot 11 = 2 \cdot 3^2 \cdot 11 \)
   5. Общие множители: \( 2 \cdot 3^2 \)
   6. \( \text{НОД}(36, 72, 198) = 2 \cdot 9 = 18 \)

Ответ: а) 25; б) 133; в) 18.