1. Найдите точку максимума функции y = x³ - 108x + 5.

Решение:

Для нахождения точки максимума функции \( y = x^3 - 108x + 5 \) необходимо найти производную функции, приравнять ее к нулю и определить, где производная меняет знак с плюса на минус.

1. Найдем производную функции: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 108x + 5) = 3x^2 - 108 \]
2. Приравняем производную к нулю: \[ 3x^2 - 108 = 0 \] \[ 3x^2 = 108 \] \[ x^2 = 36 \] \[ x = \pm 6 \]
3. Определим знак производной на интервалах, образованных критическими точками.
• На интервале \( (-\infty, -6) \), выберем \( x = -7 \): \( y'(-7) = 3(-7)^2 - 108 = 3(49) - 108 = 147 - 108 = 39 > 0 \) (функция возрастает).
• На интервале \( (-6, 6) \), выберем \( x = 0 \): \( y'(0) = 3(0)^2 - 108 = -108 < 0 \) (функция убывает).
• На интервале \( (6, \infty) \), выберем \( x = 7 \): \( y'(7) = 3(7)^2 - 108 = 3(49) - 108 = 147 - 108 = 39 > 0 \) (функция возрастает).
4. Точка максимума находится там, где производная меняет знак с плюса на минус, то есть при \( x = -6 \).

Ответ: x = -6.