4. Найдите точку минимума функции y = (72/x) + 2x + 6.

Решение:

Для нахождения точки минимума функции \( y = \frac{72}{x} + 2x + 6 \) необходимо найти производную функции, приравнять ее к нулю и определить, где производная меняет знак с минуса на плюс.

1. Найдем производную функции: \[ y' = \frac{d}{dx}(\frac{72}{x} + 2x + 6) = \frac{d}{dx}(72x^{-1} + 2x + 6) = -72x^{-2} + 2 = -\frac{72}{x^2} + 2 \]
2. Приравняем производную к нулю: \[ -\frac{72}{x^2} + 2 = 0 \] \[ 2 = \frac{72}{x^2} \] \[ 2x^2 = 72 \] \[ x^2 = 36 \] \[ x = \pm 6 \]
3. Определим знак производной на интервалах, образованных критическими точками: \( (-\infty, -6) \), \( (-6, 0) \), \( (0, 6) \), \( (6, \infty) \). (Обратите внимание, что \( x=0 \) не входит в область определения функции, но является границей интервала).
• На интервале \( (-\infty, -6) \), выберем \( x = -7 \): \( y'(-7) = -\frac{72}{(-7)^2} + 2 = -\frac{72}{49} + 2 = -1.47 + 2 = 0.53 > 0 \) (функция возрастает).
• На интервале \( (-6, 0) \), выберем \( x = -1 \): \( y'(-1) = -\frac{72}{(-1)^2} + 2 = -72 + 2 = -70 < 0 \) (функция убывает).
• На интервале \( (0, 6) \), выберем \( x = 1 \): \( y'(1) = -\frac{72}{(1)^2} + 2 = -72 + 2 = -70 < 0 \) (функция убывает).
• На интервале \( (6, \infty) \), выберем \( x = 7 \): \( y'(7) = -\frac{72}{(7)^2} + 2 = -\frac{72}{49} + 2 = -1.47 + 2 = 0.53 > 0 \) (функция возрастает).
4. Точка минимума находится там, где производная меняет знак с минуса на плюс. Это происходит при \( x = 6 \).

Ответ: x = 6.