3. Найдите точку максимума функции y = 19 + 4x - (x³/3).

Решение:

Для нахождения точки максимума функции \( y = 19 + 4x - \frac{x^3}{3} \) необходимо найти производную функции, приравнять ее к нулю и определить, где производная меняет знак с плюса на минус.

1. Найдем производную функции: \[ y' = \frac{d}{dx}(19 + 4x - \frac{x^3}{3}) = 4 - \frac{3x^2}{3} = 4 - x^2 \]
2. Приравняем производную к нулю: \[ 4 - x^2 = 0 \] \[ x^2 = 4 \] \[ x = \pm 2 \]
3. Определим знак производной на интервалах, образованных критическими точками: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 2) \), \( (2, \infty) \).
• На интервале \( (-\infty, -2) \), выберем \( x = -3 \): \( y'(-3) = 4 - (-3)^2 = 4 - 9 = -5 < 0 \) (функция убывает).
• На интервале \( (-2, 2) \), выберем \( x = 0 \): \( y'(0) = 4 - (0)^2 = 4 > 0 \) (функция возрастает).
• На интервале \( (2, \infty) \), выберем \( x = 3 \): \( y'(3) = 4 - (3)^2 = 4 - 9 = -5 < 0 \) (функция убывает).
4. Точка максимума находится там, где производная меняет знак с плюса на минус, то есть при \( x = 2 \).

Ответ: x = 2.