7. На рисунке изображен график у = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-12;9). Найдите количество точек минимума функции f(х), принадлежащих отрезку [-10;5].

Решение:

Точки минимума функции \( f(x) \) находятся там, где её производная \( f'(x) \) равна нулю и меняет знак с минуса на плюс. По графику \( y = f'(x) \) видим, что производная равна нулю при \( x = -10, x = -6, x = 0, x = 4 \).

Нас интересует отрезок \( [-10; 5] \). Точки, где \( f'(x) = 0 \) и которые попадают в этот отрезок, это \( x = -10, x = -6, x = 0, x = 4 \).

Проверим знак производной на интервалах, окружающих эти точки, в пределах отрезка \( [-10; 5] \):

• В точке \( x = -10 \): На интервале \( [-10; -6) \) (например, \( x = -8 \)), \( f'(-8) > 0 \) (график производной выше оси x), значит, функция \( f(x) \) возрастает. Поскольку перед \( x = -10 \) производная не отрицательна, \( x = -10 \) не является точкой минимума.
• В точке \( x = -6 \): На интервале \( [-10; -6) \) \( f'(x) > 0 \), а на интервале \( (-6; 0) \) (например, \( x = -3 \)), \( f'(-3) < 0 \). Производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимума.
• В точке \( x = 0 \): На интервале \( (-6; 0) \) \( f'(x) < 0 \), а на интервале \( (0; 5] \) (например, \( x = 2 \)), \( f'(2) > 0 \). Производная меняет знак с минуса на плюс, это точка минимума.
• В точке \( x = 4 \): На интервале \( (0; 4) \) \( f'(x) > 0 \), а на интервале \( (4; 5] \) \( f'(x) > 0 \). Производная не меняет знак, это точка перегиба, не экстремум.

Единственная точка минимума функции \( f(x) \) на отрезке \( [-10; 5] \) — это \( x = 0 \).

Ответ: 1.