6. На рисунке изображен график у = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-7;5). Найдите точку экстремума функции f(x), принадлежащую отрезку [-2;3].

Решение:

Точки экстремума функции \( f(x) \) находятся там, где её производная \( f'(x) \) равна нулю и меняет знак. По графику \( y = f'(x) \) видим, что производная равна нулю при \( x = -4, x = 0, x = 4 \).

Нас интересует отрезок \( [-2; 3] \). Единственная точка, которая попадает в этот отрезок и где \( f'(x) = 0 \), — это \( x = 0 \).

Проверим знак производной на интервалах, окружающих \( x = 0 \) в пределах отрезка \( [-2; 3] \):

• На интервале \( [-2; 0) \) (например, \( x = -1 \)): \( f'(-1) < 0 \) (график производной ниже оси x), значит, функция \( f(x) \) убывает.
• На интервале \( (0; 3] \) (например, \( x = 1 \)): \( f'(1) > 0 \) (график производной выше оси x), значит, функция \( f(x) \) возрастает.

Так как производная меняет знак с минуса на плюс в точке \( x = 0 \), это точка минимума функции \( f(x) \).

Ответ: x = 0.