1) Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите объём конуса.

Решение: 1. Найдём высоту конуса. Так как образующая наклонена к плоскости основания под углом 30°, высота конуса (h) равна (12 cdot sin(30°)). Поскольку (sin(30°) = rac{1}{2}), то (h = 12 cdot rac{1}{2} = 6) см. 2. Найдём радиус основания конуса. Радиус основания (r) равен (12 cdot cos(30°)). Поскольку (cos(30°) = rac{\sqrt{3}}{2}), то (r = 12 cdot rac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}) см. 3. Найдём объём конуса. Объём конуса (V) вычисляется по формуле (V = rac{1}{3} pi r^2 h). Подставим известные значения: (V = rac{1}{3} pi (6\sqrt{3})^2 cdot 6 = rac{1}{3} pi (36 cdot 3) cdot 6 = rac{1}{3} pi cdot 108 cdot 6 = 216pi) см³. Ответ: (216pi) см³. **Объяснение для школьника:** Представь себе конус. У него есть наклонная сторона (образующая), которая равна 12 см. Эта сторона наклонена к основанию под углом 30°. Чтобы найти объём конуса, нам нужно знать его высоту и радиус основания. 1. **Высота:** Мы можем найти высоту, используя синус угла 30°. Синус 30° равен половине, поэтому высота конуса равна половине образующей, то есть 6 см. 2. **Радиус:** Радиус основания можно найти, используя косинус угла 30°. Косинус 30° равен (rac{\sqrt{3}}{2}), поэтому радиус равен (6\sqrt{3}) см. 3. **Объём:** Теперь мы можем найти объём конуса, используя формулу: (V = rac{1}{3} pi r^2 h). Подставляем значения и получаем (216pi) см³. Это и есть объём нашего конуса.