1) Отрезки АС и BD при пересечении точкой О делятся пополам. Докажите, что треугольник АОВ равен треугольнику DOC.

Доказательство равенства треугольников

Дано: AC ∠ BD = O, AO = OC, BO = OD.
Доказать: ∆AOB = ∆DOC.

Доказательство:
1. По условию, отрезки AC и BD пересекаются в точке O и делятся пополам.
   Это означает, что AO = OC и BO = OD.

2. Углы ∠AOB и ∠DOC являются вертикальными углами, так как они образованы при пересечении двух прямых (AC и BD).
   Вертикальные углы всегда равны.
   Следовательно, ∠AOB = ∠DOC.

3. Теперь у нас есть две пары равных сторон (AO = OC, BO = OD) и равный угол между ними (∠AOB = ∠DOC).

4. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники ∆AOB и ∆DOC равны.

Что и требовалось доказать.