4. В равнобедренном треугольнике ABC ∠B=104°. AD - высота этого треугольника. Найдите угол DAC.

Решение задачи

Дано: ∆ABC — равнобедренный, ∠B = 104°, AD — высота.
Найти: ∠DAC

Решение:
1. В равнобедренном ∆ABC углы при основании AC равны: ∠BAC = ∠BCA.
   Сумма углов в ∆ABC равна 180°.
   ∠BAC + ∠BCA + ∠B = 180°
   2 ∠BCA + 104° = 180°
   2 ∠BCA = 180° - 104° = 76°
   ∠BCA = 76° / 2 = 38°
   Следовательно, ∠BAC = 38°.

2. AD — высота, значит ∠ADB = 90°.
   Рассмотрим ∆ADB. Сумма его углов равна 180°.
   ∠BAD + ∠ABD + ∠ADB = 180°
   ∠BAD + 104° + 90° = 180°  (Ошибка в рассуждении, ∠B = 104° - тупой угол при вершине, значит AC — основание).

   Пересматриваем: ∠B = 104° — угол при вершине. Следовательно, AC — основание.
   Углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA.
   ∠BAC + ∠BCA + ∠B = 180°
   2 ∠BAC + 104° = 180°
   2 ∠BAC = 180° - 104° = 76°
   ∠BAC = 76° / 2 = 38°.

3. AD — высота, значит ∠ADC = 90°.
   Рассмотрим прямоугольный ∆ADC.
   ∠DAC + ∠ACD + ∠ADC = 180°
   ∠DAC + 38° + 90° = 180°
   ∠DAC = 180° - 90° - 38°
   ∠DAC = 52°

Ответ: ∠DAC = 52°