1. Постройте график функции \(y=\frac{2x+1}{2x^2+x}\) и определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения: \(x\ne0\) и \(x\ne-\frac12\). При допустимых \(x\), \(y=\frac1x\); поэтому график — гипербола \(y=\frac1x\) с выколотой точкой \((-\frac12,-2)\).

Точки пересечения с \(y=kx\) удовлетворяют \(\frac1x=kx\), то есть \(kx^2=1\). При \(k<0\) решений нет, при \(k=0\) решений нет, при \(k>0\) обычно два. Если \(k=4\), получаются \(x=\pm\frac12\), но точка при \(x=-\frac12\) выколота, поэтому остаётся одно пересечение.

Ответ: \(k=4\).