3. Постройте график функции \(y=\frac{3x+5}{3x^2+5x}\) и определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения: \(x\ne0,-\frac53\). После сокращения получаем \(y=\frac1x\) с выколотой точкой \((-\frac53,-\frac35)\).

Для пересечения с \(y=kx\): \(\frac1x=kx\), откуда \(kx^2=1\). При \(k>0\) обычно имеются два пересечения. При \(k=\frac9{25}\) корни \(x=\pm\frac53\); отрицательный корень исключён из области определения, и остаётся одно пересечение.

Ответ: \(k=\frac9{25}\).