1. Разложите квадратный трехчлен на множители: 6x^2+5x-4

Решение:

Для разложения квадратного трехчлена \( 6x^2 + 5x - 4 \) на множители, найдем его корни. Решим квадратное уравнение \( 6x^2 + 5x - 4 = 0 \).

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-4) = 25 + 96 = 121 \]\[ \sqrt{D} = \sqrt{121} = 11 \]

Найдем корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 11}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \]\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 11}{2 \cdot 6} = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3} \]

Теперь разложим трехчлен на множители:

\[ 6x^2 + 5x - 4 = a(x - x_1)(x - x_2) = 6 \left(x - \frac{1}{2}\right) \left(x - \left(-\frac{4}{3}\right)\right) = 6 \left(x - \frac{1}{2}\right) \left(x + \frac{4}{3}\right) \]

Можно преобразовать множитель 6:

\[ 6 \left(x - \frac{1}{2}\right) \left(x + \frac{4}{3}\right) = 3 \cdot 2 \left(x - \frac{1}{2}\right) \left(x + \frac{4}{3}\right) = (2x - 1)(3x + 4) \]

Проверка:

\[ (2x - 1)(3x + 4) = 6x^2 + 8x - 3x - 4 = 6x^2 + 5x - 4 \]

Ответ: (2x - 1)(3x + 4).