4. Решить систему уравнений: {x + y = 5, x - y^2 = 3}

Решение:

Дана система уравнений:

\[ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y^2 = 3 \end{cases} \]

Выразим \( x \) из первого уравнения:

\[ x = 5 - y \]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ (5 - y) - y^2 = 3 \]

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

\[ -y^2 - y + 5 - 3 = 0 \]\[ -y^2 - y + 2 = 0 \]

Умножим обе стороны на -1:

\[ y^2 + y - 2 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \). Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]\[ \sqrt{D} = \sqrt{9} = 3 \]

Найдем корни \( y \):

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1 \]\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 3}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Теперь найдем соответствующие значения \( x \), подставляя \( y \) в уравнение \( x = 5 - y \):

1. Если \( y_1 = 1 \), то \( x_1 = 5 - 1 = 4 \).
2. Если \( y_2 = -2 \), то \( x_2 = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 \).

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: \( (4; 1) \) и \( (7; -2) \).