6. Построить график функции y = -x^2 - 2x - 3. Найти по графику промежутки возрастания и убывания функции.

Решение:

Функция \( y = -x^2 - 2x - 3 \) является квадратичной, её график — парабола.

1. Направление ветвей параболы:

Коэффициент при \( x^2 \) равен \( -1 \), что меньше нуля. Значит, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины параболы:

Абсцисса вершины \( x_в \) находится по формуле \( x_в = \frac{-b}{2a} \).

\[ x_в = \frac{-(-2)}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{-2} = -1 \]

Ордината вершины \( y_в \) находится подстановкой \( x_в \) в уравнение функции:

\[ y_в = -(-1)^2 - 2(-1) - 3 = -(1) + 2 - 3 = -1 + 2 - 3 = -2 \]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (-1; -2) \).

3. Точки пересечения с осями координат:

С осью \( Oy \): при \( x=0 \), \( y = -0^2 - 2(0) - 3 = -3 \). Точка пересечения: \( (0; -3) \).

С осью \( Ox \): решаем уравнение \( -x^2 - 2x - 3 = 0 \), или \( x^2 + 2x + 3 = 0 \).

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 \).

Так как \( D < 0 \), действительных корней нет, график не пересекает ось \( Ox \).

4. Построение графика:

Используем вершину \( (-1; -2) \) и точки, симметричные относительно оси \( x = -1 \).

При \( x = -2 \): \( y = -(-2)^2 - 2(-2) - 3 = -4 + 4 - 3 = -3 \). Точка \( (-2; -3) \).

При \( x = 0 \): \( y = -3 \). Точка \( (0; -3) \).

При \( x = -3 \): \( y = -(-3)^2 - 2(-3) - 3 = -9 + 6 - 3 = -6 \). Точка \( (-3; -6) \).

При \( x = 1 \): \( y = -(1)^2 - 2(1) - 3 = -1 - 2 - 3 = -6 \). Точка \( (1; -6) \).

5. Промежутки возрастания и убывания:

Ветви параболы направлены вниз, вершина находится в \( x = -1 \). Функция возрастает до вершины и убывает после неё.

Ответ: Функция возрастает на промежутке \( (-\infty; -1) \), убывает на промежутке \( (-1; +\infty) \).