1. Решите неравенство 8x²-2x / (3-6x) >0

Решение:

1. Выделим область допустимых значений (ОДЗ): Знаменатель не должен быть равен нулю, то есть \( 3 - 6x \neq 0 \). Отсюда \( 6x \neq 3 \), \( x \neq 0.5 \).
2. Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{8x^2 - 2x}{3 - 6x} \). Приравняем числитель и знаменатель к нулю, чтобы найти корни:
• Числитель: \( 8x^2 - 2x = 0 \Rightarrow 2x(4x - 1) = 0 \Rightarrow x = 0 \) или \( x = 0.25 \).
• Знаменатель: \( 3 - 6x = 0 \Rightarrow x = 0.5 \).
3. Отметим найденные точки на числовой прямой: \( 0, 0.25, 0.5 \). Расставим знаки функции на интервалах.
• При \( x > 0.5 \), например, \( x = 1 \): \( \frac{8(1)^2 - 2(1)}{3 - 6(1)} = \frac{6}{-3} = -2 < 0 \).
• При \( 0.25 < x < 0.5 \), например, \( x = 0.3 \): \( \frac{8(0.3)^2 - 2(0.3)}{3 - 6(0.3)} = \frac{8(0.09) - 0.6}{3 - 1.8} = \frac{0.72 - 0.6}{1.2} = \frac{0.12}{1.2} = 0.1 > 0 \).
• При \( 0 < x < 0.25 \), например, \( x = 0.1 \): \( \frac{8(0.1)^2 - 2(0.1)}{3 - 6(0.1)} = \frac{8(0.01) - 0.2}{3 - 0.6} = \frac{0.08 - 0.2}{2.4} = \frac{-0.12}{2.4} < 0 \).
• При \( x < 0 \), например, \( x = -1 \): \( \frac{8(-1)^2 - 2(-1)}{3 - 6(-1)} = \frac{8 + 2}{3 + 6} = \frac{10}{9} > 0 \).
4. Нам нужно \( f(x) > 0 \). Это выполняется на интервалах \( x < 0 \) и \( 0.25 < x < 0.5 \).

Ответ: \( (-\infty; 0) \cup (0.25; 0.5) \).