12. Решите систему: { 2^(x-y) = 16; 3^y = 27^x }

Решение:

1. Преобразуем первое уравнение, представив 16 как степень двойки:
• \( 2^{x-y} = 2^4 \)
• Отсюда следует, что показатели степеней равны: \( x - y = 4 \) (Уравнение 1)
2. Преобразуем второе уравнение, представив 27 как степень тройки:
• \( 3^y = (3^3)^x \)
• \( 3^y = 3^{3x} \)
• Отсюда следует, что показатели степеней равны: \( y = 3x \) (Уравнение 2)
3. Теперь решим систему из двух линейных уравнений:
• 1) \( x - y = 4 \)
• 2) \( y = 3x \)
4. Подставим выражение для \( y \) из второго уравнения в первое:
• \( x - (3x) = 4 \)
• \( x - 3x = 4 \)
• \( -2x = 4 \)
• \( x = \frac{4}{-2} = -2 \)
5. Теперь найдём \( y \), подставив значение \( x \) во второе уравнение:
• \( y = 3x = 3(-2) = -6 \)
6. Проверим решение, подставив \( x = -2 \) и \( y = -6 \) в исходные уравнения:
• Первое уравнение: \( 2^{x-y} = 2^{-2 - (-6)} = 2^{-2 + 6} = 2^4 = 16 \). Верно.
• Второе уравнение: \( 3^y = 3^{-6} \). \( 27^x = 27^{-2} = (3^3)^{-2} = 3^{-6} \). Верно.

Ответ: \( x = -2, y = -6 \).