4. Решите неравенство log₀.₅(2x) >2

Решение:

1. ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным: \( 2x > 0 \), следовательно \( x > 0 \).
2. Потенцируем обе части неравенства, учитывая, что основание логарифма \( 0.5 \) меньше 1. При потенцировании знак неравенства меняется на противоположный: \( 2x < (0.5)^2 \).
3. Вычисляем \( (0.5)^2 = 0.25 \).
4. Получаем \( 2x < 0.25 \).
5. Делим обе части на 2: \( x < 0.125 \).
6. Учитываем ОДЗ \( x > 0 \). Объединяем условия \( x < 0.125 \) и \( x > 0 \).

Ответ: \( (0; 0.125) \).