1. Решите систему неравенств: { 1/2 x² - x - 4 ≥ 0, 4x + 30 > 2x²

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

Неравенство 1: \(\frac{1}{2}x^2 - x - 4 \ge 0\)

1. Шаг 1: Приведем неравенство к стандартному виду, умножив на 2: \(x^2 - 2x - 8 \ge 0\).
2. Шаг 2: Найдем корни уравнения \(x^2 - 2x - 8 = 0\).
   \(D = (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36\). \(\sqrt{D} = 6\).
   \(x_{1,2} = \frac{2 \pm 6}{2}\).
   \(x_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4\).
   \(x_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2\).
3. Шаг 3: Так как коэффициент при \(x^2\) положителен, ветви параболы \(y = x^2 - 2x - 8\) направлены вверх. Неравенство \(\ge 0\) выполняется при \(x \le -2\) или \(x \ge 4\).
   Решение первого неравенства: \((-\infty; -2] \cup [4; \infty)\).

Неравенство 2: \(4x + 30 > 2x^2\)

1. Шаг 1: Перенесем все члены в одну сторону и приведем к стандартному виду: \(2x^2 - 4x - 30 < 0\).
2. Шаг 2: Разделим на 2: \(x^2 - 2x - 15 < 0\).
3. Шаг 3: Найдем корни уравнения \(x^2 - 2x - 15 = 0\).
   \(D = (-2)^2 - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64\). \(\sqrt{D} = 8\).
   \(x_{1,2} = \frac{2 \pm 8}{2}\).
   \(x_1 = \frac{2 + 8}{2} = 5\).
   \(x_2 = \frac{2 - 8}{2} = -3\).
4. Шаг 4: Так как коэффициент при \(x^2\) положителен, ветви параболы \(y = x^2 - 2x - 15\) направлены вверх. Неравенство \(< 0\) выполняется между корнями.
   Решение второго неравенства: \((-3; 5)\).

Шаг 5: Найдем пересечение решений обоих неравенств.
\((-\infty; -2] \cup [4; \infty)\) ∩ \((-3; 5)\) = \((-3; -2] \cup [4; 5)\).

Ответ: \((-3; -2] \cup [4; 5)\)