3. Решите квадратные неравенства:

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

а) -5x² + 6x ≥ 0;

1. Шаг 1: Найдем корни уравнения -5x² + 6x = 0.
   Вынесем x за скобки: \(x(-5x + 6) = 0\).
   Корни: \(x_1 = 0\) и \(-5x + 6 = 0\) => \(5x = 6\) => \(x_2 = \frac{6}{5}\).
2. Шаг 2: Определим направление ветвей параболы \(y = -5x^2 + 6x\). Так как коэффициент \(a = -5\) отрицательный, ветви направлены вниз.
3. Шаг 3: Отметим корни на числовой оси и определим интервалы, где \(y \ge 0\) (парабола находится выше или на оси Ox).

Ответ: \([0; \frac{6}{5}]\)

б) \(\frac{1}{2}x^2 - 6x + 10 > 0;

1. Шаг 1: Найдем корни уравнения \(\frac{1}{2}x^2 - 6x + 10 = 0\).
   Умножим всё на 2, чтобы избавиться от дроби: \(x^2 - 12x + 20 = 0\).
   Используем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4(1)(20) = 144 - 80 = 64\). \(\sqrt{D} = 8\).
   Корни: \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm 8}{2}\).
   \(x_1 = \frac{12 + 8}{2} = \frac{20}{2} = 10\).
   \(x_2 = \frac{12 - 8}{2} = \frac{4}{2} = 2\).
2. Шаг 2: Определим направление ветвей параболы \(y = \frac{1}{2}x^2 - 6x + 10\). Так как коэффициент \(a = \frac{1}{2}\) положительный, ветви направлены вверх.
3. Шаг 3: Отметим корни на числовой оси и определим интервалы, где \(y > 0\) (парабола находится выше оси Ox).

Ответ: \((-\infty; 2) \cup (10; \infty)\)

в) -3x² + x - 1 < 0.

1. Шаг 1: Найдем дискриминант уравнения -3x² + x - 1 = 0.
   \(D = b^2 - 4ac = (1)^2 - 4(-3)(-1) = 1 - 12 = -11\).
2. Шаг 2: Так как дискриминант отрицательный (D < 0), действительных корней нет.
3. Шаг 3: Определим направление ветвей параболы \(y = -3x^2 + x - 1\). Так как коэффициент \(a = -3\) отрицательный, ветви направлены вниз.
4. Шаг 4: Поскольку ветви направлены вниз и нет точек пересечения с осью Ox, вся парабола находится ниже оси Ox. Следовательно, неравенство \(y < 0\) выполняется для всех действительных значений x.

Ответ: \((-\infty; \infty)\)