1. Решите тригонометрическое уравнение: 3sin²x + 4 sin x - 4 = 0

Решение:

Это квадратное уравнение относительно \( \sin x \).

1. Пусть \( y = \sin x \). Тогда уравнение примет вид: \( 3y^2 + 4y - 4 = 0 \).
2. Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64 \]
3. Найдем корни квадратного уравнения: \[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 - 8}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \]
4. Теперь вернемся к замене: \( \sin x = y \).
5. \( \sin x = \frac{2}{3} \). Это возможно, так как \( -1 \le \frac{2}{3} \le 1 \). Решение: \( x = \pm \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \).
6. \( \sin x = -2 \). Это невозможно, так как \( \sin x \) не может быть меньше -1.

Ответ: \( x = \pm \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \).