10. Известно, что высота конуса равна 5 см, радиус основания конуса — 3 см. Определите площадь боковой поверхности и объем.

Решение:

Дано:

• Высота конуса \( h = 5 \) см
• Радиус основания \( r = 3 \) см

Найти:

• Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \)
• Объем \( V \)

1. Площадь боковой поверхности конуса

Формула площади боковой поверхности конуса: \( S_{бок} = \pi r l \), где \( l \) — образующая конуса.

Сначала найдем образующую \( l \) по теореме Пифагора: \( l^2 = r^2 + h^2 \).

\[ l^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34 \]

\[ l = \sqrt{34} \) см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

\[ S_{бок} = \pi \cdot 3 \cdot \sqrt{34} = 3\pi\sqrt{34} \) см².

2. Объем конуса

Формула объема конуса: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \).

\[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot 5 \]

\[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 5 \]

\[ V = \(\pi\) \(\cdot\) 3 \(\cdot\) 5 = 15\(\pi\) \) см³.

Ответ: Площадь боковой поверхности \( S_{бок} = 3\pi\sqrt{34} \) см², Объем \( V = 15\pi \) см³.