6. Решите логарифмическое уравнение: а) log₂ 2x = log₂ 4 + log₂ 6; б) log₂(x - 7) = log₂(2x - 3)

Решение:

а) \( \log_2 2x = \log_2 4 + \log_2 6 \)

1. Используем свойство логарифма суммы: \( \log_2 4 + \log_2 6 = \log_2 (4 \cdot 6) = \log_2 24 \).
2. Уравнение примет вид: \( \log_2 2x = \log_2 24 \).
3. Поскольку основания логарифмов равны, приравняем аргументы: \( 2x = 24 \).
4. Решим уравнение: \( x = \frac{24}{2} = 12 \).
5. Проверим область допустимых значений: \( 2x > 0 \implies x > 0 \). \( 12 > 0 \), значит, корень подходит.

б) \( \log_2(x - 7) = \log_2(2x - 3) \)

1. Приравняем аргументы логарифмов: \( x - 7 = 2x - 3 \).
2. Решим полученное линейное уравнение:
• \( -7 + 3 = 2x - x \)
• \( -4 = x \)
3. Проверим область допустимых значений:
• \( x - 7 > 0 \implies x > 7 \)
• \( 2x - 3 > 0 \implies 2x > 3 \implies x > \frac{3}{2} \)
4. Так как \( -4 \) не удовлетворяет условиям \( x > 7 \) и \( x > \frac{3}{2} \), то уравнение не имеет решений.

Ответ: а) 12; б) решений нет.