3. Найдите область определения функции: у = \(\sqrt{\frac{4x - 2}{4x + 5}}\)

Решение:

Для нахождения области определения функции необходимо, чтобы выражение под знаком квадратного корня было неотрицательным, и знаменатель не был равен нулю.

1. Условие неотрицательности подкоренного выражения: \( \frac{4x - 2}{4x + 5} \ge 0 \).
2. Условие неравенства знаменателя: \( 4x + 5
   e 0 \implies x
   e -\frac{5}{4} \).
3. Решим неравенство \( \frac{4x - 2}{4x + 5} \ge 0 \) методом интервалов.
4. Найдем корни числителя и знаменателя:
• \( 4x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
• \( 4x + 5 = 0 \implies x = -\frac{5}{4} \)
5. Разместим корни на числовой оси и определим знаки на интервалах:
• Интервал \( x < -\frac{5}{4} \): Возьмем \( x = -2 \). \( \frac{4(-2) - 2}{4(-2) + 5} = \frac{-8 - 2}{-8 + 5} = \frac{-10}{-3} = \frac{10}{3} > 0 \).
• Интервал \( -\frac{5}{4} < x < \frac{1}{2} \): Возьмем \( x = 0 \). \( \frac{4(0) - 2}{4(0) + 5} = \frac{-2}{5} < 0 \).
• Интервал \( x > \frac{1}{2} \): Возьмем \( x = 1 \). \( \frac{4(1) - 2}{4(1) + 5} = \frac{2}{9} > 0 \).
6. Учитывая условие \( \ge 0 \), получаем: \( x \in \left(-\infty; -\frac{5}{4}\right) \cup \left[\frac{1}{2}; +\infty\right) \).
7. Учитывая условие \( x
   e -\frac{5}{4} \), область определения остается прежней.

Ответ: \( x \in \left(-\infty; -\frac{5}{4}\right) \cup \left[\frac{1}{2}; +\infty\right) \).