1. Сто друзей, среди которых есть Петя и Вася, живут в нескольких городах. Петя узнал расстояние от своего города до города каждого из оставшихся 99 друзей и сложил эти 99 чисел. Аналогично поступил Вася. Петя получил 1000 км. Какое наибольшее число мог получить Вася? (Города считайте точками плоскости; если двое живут в одном и том же городе, расстояние между их городами считается равным нулю.)

Обозначим расстояние между городами Пети и Васи через d. Для каждого из остальных 98 друзей по неравенству треугольника расстояние от Васи до его города не больше суммы расстояний от Васи до Пети и от Пети до этого города.

Сумма расстояний от Пети до городов остальных 98 друзей равна 1000 − d. Поэтому сумма расстояний от Васи не больше d + 98d + 1000 − d = 1000 + 98d. Кроме того, d ≤ 1000, поскольку расстояние Пети до Васи входит в его сумму.

Значит, результат Васи не больше 1000 + 98 · 1000 = 99 000 км. Равенство достижимо: Вася живёт на расстоянии 1000 км от Пети, а остальные 98 друзей — в городе Пети. Тогда Петя получает сумму 1000 км, а Вася — 99 000 км.

Ответ: 99 000 км.