2. Для каждого из чисел 1, 19, 199, 1999 и т.д. изготовили одну отдельную карточку и записали на неё это число. а) Можно ли выбрать не менее трёх карточек так, чтобы сумма чисел на них равнялась числу, все цифры которого, кроме одной — двойки? б) Пусть выбрали несколько карточек так, что сумма чисел на них равна числу, все цифры которого, кроме одной — двойки. Какой может быть его цифра, отличная от двойки?

Пусть выбраны карточки с числами, содержащими соответственно 1, 2, … цифр 9 после первой единицы (то есть сами числа имеют вид 1, 19, 199, …). Для точного ответа удобно рассматривать сумму поразрядно: каждая карточка вносит единицу в разряды от единиц до своего старшего разряда, а в старший разряд — также единицу.

При сложении выбранных чисел в каждом разряде сумма цифр до переноса равна количеству карточек, охватывающих этот разряд. Чтобы итоговая цифра во всех разрядах, кроме одного, была 2, число карточек, охватывающих очередной разряд, должно после переноса давать цифру 2. Последовательно переходя от младшего разряда к старшему, получаем, что в исключительном разряде возможна любая цифра от 0 до 9, кроме 2; однако цифра 2 исключена по условию.

Для пункта а) такая конструкция возможна уже при трёх карточках: выберем числа 1, 19 и 199. Их сумма равна 219, где две цифры — двойки, а третья — 9. Следовательно, ответ на пункт а) положительный.

В пункте б) при выборе нескольких карточек отличная от двойки цифра может быть любой цифрой, кроме 2.

Ответ: а) да; б) 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9.