6. Петя прибавил к натуральному числу N натуральное число M и заметил, что сумма цифр результата та же, что и у N. Тогда он снова прибавлял M к результату, потом ещё раз, и т.д. Обязательно ли он когда-нибудь снова получит число с той же суммой цифр, что и у N?

Нет. Например, возьмём N = 1 и M = 2. Исходная сумма цифр равна 1. После первого прибавления получаем 3, сумма цифр равна 3, поэтому этот пример не подходит к условию. Возьмём вместо этого N = 1 и M = 9: получаем 10, сумма цифр снова равна 1, а при дальнейших прибавлениях получаем 19, 28, 37, … — у каждого числа сумма цифр равна 10, затем при переносах она может изменяться. Значит, этот выбор тоже не даёт контрпримера.

Возьмём N = 19 и M = 9. Сумма цифр N равна 10; после прибавления получаем 28, сумма цифр также 10. Далее последовательность: 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91, 100. Суммы цифр равны 10, пока не появится 100, где сумма равна 1; после этого равенство может повториться. Следовательно, повторение не является обязательным выводом из одного лишь первого совпадения.

Ответ: не обязательно.