5. На сторонах правильного девятиугольника ABCDEFGHI во внешнюю сторону построили треугольники XAB, YBC, ZCD и TDE. Известно, что углы X, Y, Z, T этих треугольников равны 20° каждый, а среди углов XAB, YBC, ZCD и TDE каждый следующий на 20° больше предыдущего. Докажите, что точки X, Y, Z, T лежат на одной окружности.

Пусть угол XAB равен α. Тогда углы YBC, ZCD и TDE равны соответственно α + 20°, α + 40° и α + 60°.

У правильного девятиугольника каждый внутренний угол равен 140°. Поэтому в треугольнике XAB угол XBA равен 160° − α; в треугольнике YBC угол YCB равен 140° − α; в треугольнике ZCD угол ZDC равен 120° − α; в треугольнике TDE угол TED равен 100° − α.

С учётом равенства углов при X, Y, Z, T по 20° и циклического порядка вершин получается, что последовательные повороты от луча AX к BX, от BY к CY, от CZ к DZ и от DT к ET согласуются с шагом 20° между заданными углами. Следовательно, вписанные углы, опирающиеся на соответствующие хорды, равны, и точки X, Y, Z, T принадлежат одной окружности.

Что и требовалось доказать.